\documentclass[8pt,a4paper]{scrartcl}

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\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst Ökonometrie, Uni Regensburg, Nov 2014}
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\begin{document}
\section{Motivation}
In der Querschnittsökonometrie hat man oft Stichprobenannahmen wie eine unabhängig und gleich verteilte Stichprobe, kurz
\beqs 
X_i\sim \text{IID}(\mu_0, \sigma_0^2).
\eeqs
Da (mit Hilfe von Modellen) diese Realisationen quadriert, kubisch, unter der Wurzel, \ldots in die Verteilungen von Teststatistiken unter H$_0$ eingehen, benötigt man immer ein Standardargument, dass diese unter dieser funktionalen Veränderung stochastisch unabhängig bleiben, welches in der Wahrscheinlichkeitstheorie \textbf{Blockungslemma} genannt wird:
\section{Blockungslemma}
Diese Aussage ist in ihrer Allgemeinheit für einen Ökonometriker ausreichend und vielfach anwendbar, wie die Beispiele im Anschluss zeigen.\\
\textbf{Voraussetzung:} \\
Es seien $X_1, \ldots, X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, $k \in \{1, \ldots, n-1\}$ und weiter seien $g:\R^k \to \R$ und $h:\R^{n-k} \to \R$ Funktionen. \\
\textbf{Behauptung:} \\
$g(X_1, \ldots, X_k)$ und $h(X_{k+1}, \ldots, X_n)$ sind wieder stochastisch unabhängig.\\
\textbf{Beweis:} (im diskreten Fall; im stetigen Fall analog)\\
Sei $Y_1 := g(X_1, \ldots, X_k), Y_2 :=h(X_{k+1}, \ldots, X_n).$ Seien $y_1, y_2 \in \R$ beliebig, dann:
\begin{align*}
P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &\stackrel{\text{Def.}}{=} \sum_{\substack{(x_1, \ldots, x_n): \\ g(x_1, \ldots, x_k)=y_1 \land h(x_{k+1}, \ldots, x_n)=y_2}} P(X_1 = x_1, \ldots, X_n=x_n)\\
										&\stackrel{\text{Un.}}{=} \sum_{\substack{(x_1, \ldots, x_n): \\ g(x_1, \ldots, x_k)=y_1 \land h(x_{k+1}, \ldots, x_n)=y_2}} \prod_{j=1}^n P(X_j=x_j)\\
										&\stackrel{\text{Sum.}}{=} \left(\sum_{\substack{(x_1, \ldots, x_k): \\ g(x_1, \ldots, x_k)=y_1}} \prod_{j=1}^k P(X_j=x_j)\right)\left(\sum_{\substack{(x_{k+1}, \ldots, x_n): \\h(x_{k+1}, \ldots, x_n)=y_2}} \prod_{j=k+1}^n P(X_j=x_j)\right)\\
										&\stackrel{\text{Def.}}{=} P(Y_1=y_1) \cdot P(Y_2=y_2) \qed
\end{align*}
\section{Beispiel:}
\bit
\item $X_1, \ldots, X_4$ unabhängig $\Ra$ $\sin(X_1+X_2)$ und $X_3-2X_4$ stochastisch unabhängig.
\item $X_1, \ldots, X_n$ unabhängig $\stackrel{\text{mehrfach}}{\Ra}$ $X_1^l, \ldots, X_n^l$ stochastisch unabhängig für $l=2,3, \ldots$ (vgl. Empirische Momente!)
\eit
\end{document} 