\documentclass[8pt,a4paper]{scrartcl}

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\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst Ökonometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
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\begin{document}	
\section*{Wichtigste Rechenregeln für (bedingte) Momente}
Im Folgenden bezeichnen $X, Y, Z$ beliebige Zufallsvariablen (deren Erwartungswerte und Varianzen existieren) und $a, b$ Skalare (Konstanten) in $\R$. \\
\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|p{7.2cm}|p{7.5cm}|}
\hline
Moment& Voraussetzung / Bezeichnung & Formel \\
\hline \hline
Erwartungswert $E[X]$ &  &  \\
\hline
 & Der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbst: & $E[a]=a$ \\
 & Der Erwartungswert ist linear, d.h.: & $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ \\
 & Falls $X,Y$ stochastisch unabhängig sind, dann gilt: & $E[X\cdot Y]=E[X]\cdot E[Y]$ \\
& Für beliebige $X,Y$ gilt: : & $E[X\cdot Y]=E[X]\cdot E[Y]+ Cov(X,Y)$ \\
 & \textbf{Dreiecksungleichung der Erwartungswerte:} & $E[|X+Y|]\leq E[|X|]+E[|Y|]$ \\
 & \textbf{Jensen-Ungleichung}: Sei $g(\cdot)$ stetig und konvex, dann gilt: & $E[g(X)]\geq g(E[X])$ \\
  & \textbf{Law of Iterated Expectations (LIE):} & $E[E[X|Y]]=E[X]$ \\
\hline
Varianz $Var(X)$ & Definition Varianz: $Var(X)=E[(X-E[X])^2]$ & Definition Kovarianz: $Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$\\
\hline
 & Die Varianz einer Konstanten ist $0$: & $Var(a)=0$ \\
 & Transformationsverhalten der Varianz: & $Var(aX+b)=a^2 Var(X)$ \\
 & Transformationsverhalten der Varianz für zwei Zufallsvariablen: & $Var(aX+bY)=a^2 Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)$ \\
 & \textbf{Verschiebungssatz:}  & $Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ \\
 & \textbf{Verschiebungssatz der Kovarianz:}  & $Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]\cdot E[Y]$ \\
 & Transformationsverhalten der Kovarianz:  & $Cov(aX+bY+c,Z)=a Cov(X,Z)+b Cov(Y,Z)$ \\
 \hline
Bedingter EW $E[X|Y]$ &  &  \\
\hline
 & Für jede Funktion $g(\cdot)$ gilt: & $E[g(X)|X]=g(X)$ (insb. für $g \equiv \id$ gilt: $E[X|X]=X$ \\
 & Transformationsverhalten des bedingten EWs: & $E[g(X)Y+h(X)|X]=g(X)\cdot E[Y|X]+h(X)$ \\
 & Falls $X,Y$ stochastisch unabhängig sind, dann gilt: & $E[X|Y]=E[X]$ \\
 & \textbf{Law of Iterated Expectations (LIE):}  & $E[X|Z]=E[E[X|Y,Z]|Z]$ \\
 & Falls $E[Y^2]<\infty$ und $E[g(X)^2]<\infty$, so gelten:  & $E[(Y-E[Y|X])^2|X]\leq E[(Y-g(X))^2|X)]$  \\
  &   & $E[(Y-E[Y|X])^2]\leq E[(Y-g(X))^2)]$\\
   \hline
Bed. Var. $Var(X|Y)$ &  &  \\
\hline
 & \textbf{Verschiebungssatz der bed. Varianz:} & $Var(X|Y)=E[(X-E[X|Y])^2|Y]=E[X^2|Y]-E[X|Y]^2$ \\
 & \textbf{Verschiebungssatz der bed. Kovarianz:} & $Cov(X,Y|Z)=E[XY|Z]-E[X|Z]E[Y|Z]$ \\
 & Falls $X=a$, so gilt: & $Var(X|Y)=0$ \\
  & \textbf{Zerlegungssatz der Varianz:} & $Var(X)=E[Var(X|Y)]+Var(E[X|Y])$ \\
  & Für jede Funktion $g(\cdot)$ gilt: & $Var[g(Y)X|Y]=g(Y)^2Var(X|Y)$\\
  & Für jede Funktion $g(\cdot), h(\cdot)$ gilt: & $Cov(g(Z)X,h(Z)Y|Z)=g(Z)h(Z)Cov(X,Y|Z)$ \\
  & Erwartungswert und Kovarianzen: & $E[Cov(X,Y|Z)]=E[(X-E[X|Z])\cdot (Y-E[Y|Z])]$ \\
  \hline
\end{tabularx}
\section*{Wichtigste (Fehl-) Schlüsse für (bedingte) Momente}
\begin{enumerate}
\item $E[Y|X] = E[Y] \Ra Cov(Y,X)= 0$\\
Da $E[Y|X=x]=f(x)=E[Y]=c$ für alle $x$ konstant $E[Y]$ ist, hat jegliche Realisation $x$ von $X$ keinen Einfluss auf $Y$ und somit ist $Y$ von $X$ unabhängig. 
\item $E[Y|X] = 0 \Ra E[Y]=0 \land Cov(Y,X)=0$\\
Spezialfall des ersten Schlusses, falls $f(x)\equiv 0 = E[Y]$ für alle $x$ schon die "`0"'-Kostante ist. Falls $Y$ und $X$ schon unabhängig sind, sind sie auch unkorreliert.
\item $Cov(Y,X)=0 \not\Ra E[Y|X]=0$  im Allgemeinen\\
Einfaches Gegenbeispiel: Sei $Y=X^2$ und $E[X]=E[X^3]=0$. Dann gilt  
\begin{align*} 
Cov(X,Y)=Cov(X,X^2)=\underbrace{E[X^3]}_{=0} -E[X^2]\underbrace{E[X]}_{=0} = 0 \Ra  Cov(X,Y)=0 \hd \text{ aber }\hd E[Y |X] = E[X^2|X] = X^2 
\end{align*}
Falls $Y$ und $X$ unkorreliert sind, so sind sie deshalb noch \textbf{nicht} unabhängig (insbesondere wenn quadratische, ... Einflüsse vorliegen). 
\item $Cov(X,Y)\neq  0 \Ra E[Y|X] \neq 0 $ im Allgemeinen\\
Begründung: Dies ist die Verneinung der zweiten Aussage (aus $A \Ra B$ folgt $\lnot B \Ra \lnot A$).
\item $Cov(X,Y)= 0 \land E[Y]=0 \Ra E[Y\cdot X ]=0$\\
Einfaches Benutzen des Produkts von Zufallsvariablen im Erwartungswert liefert
\begin{align*} 
E[Y \cdot X] = \underbrace{E[Y]}_{=0} \cdot E[X] + \underbrace{Cov(Y,X)}_{=0} = 0
\end{align*}
\item $E[Y] =0 \not\Ra E[Y|X]=0$ \\
Einfaches Gegenbeispiel: \\
Sei $X=M_1+M_2$ und $Y=M_1$,  wobei $M_1$ und $M_2$ die unabhängigen Würfe zweier fairer Münzen mit Auszahlungen von -1 und 1 sind, dann:
\begin{align*} 
&E[X]= E[M_1+ M_2] = E[M_1] + E[M_2] = 0 + 0 = 0 \\
&E[X|Y] = E[M_1+ M_2 | M_1] = M_1 + E[M_2|M_1] \stackrel{\text{ind.}}{=} M_1 +E[M_2] = M_1 =\begin{cases} +1 \\ -1 \end{cases}\neq 0 
\end{align*} 
\end{enumerate}
\end{document}