

\documentclass[a4paper, 8pt, headnosepline, landscape]{scrreprt}
\input{definitions}


\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{changebar}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{nicefrac}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx} %abstandsabhängige Tabellen
\usepackage{t1enc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
\usepackage{trsym}
\usepackage{lscape} %querformat
\usepackage{wasysym}
\usepackage{yfonts} 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Geometry
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm, paperwidth=210mm, paperheight=297mm}
\fancyhf{}																								%Kopf-/Fu?zeilenfelder leeren
\pagestyle{fancy}																						%Seitenstil auf fancy setzen
\fancyhead[L]{SR}																					%im Kopf links den Titel schreiben
\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm} Lst Ökonometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}																				%Im Kopf rechts die Seitenzahl setzen
\fancypagestyle{plain}{}																					% damit auch "plain" Seiten fancy werden
\setlength{\headheight}{14.5pt}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Commands
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7. Body
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}	
%\begin{landscape}
\begin{tabularx}{26,5cm}{|X|X|X|X|X|}
\hline
Name & Dichte \small{bzw.} Wahrscheinlichkeitsfunktion & Verteilungsfunktion & Momente & Anmerkungen\\ 
\hline \hline
\textbf{Normalverteilung} $N(\mu, \sigma^2)$ mit Parameter $\mu \in ]-\infty,\infty[ $ und $\sigma \in (0,\infty[$ & \begin{align} \notag f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \end{align} & \begin{align}\notag F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2}dt\end{align} (Berühmtes Beispiel, dass eine Stammfunktion nicht existiert!) & Alle Momente exisiteren: \newline Erwartungswert $E[X]=\mu$ \newline
Varianz $Var(X)=\sigma^2$ \newline Schiefe $v(X)=0$& Gesetze der großen Zahlen; \newline Werte werden mit Standardnormalverteilung berechnet ($Z=\frac{X-\mu}{\sigma})$, \newline welche symmetrisch zum Ursprung ist\\ 
\hline

\textbf{chi$^2$-Verteilung} $\chi^2_n$ mit $n$ Freiheitsgraden (degrees of freedom $df=n$)  & \begin{align}\notag f_n(x)=\frac{x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})} \text{ für } x > 0\end{align} & analytisch sehr kompliziert! & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=n$ \newline
Varianz $Var(X)=2n$ \newline Schiefe $v(X)=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$& Die Summe $\sum_{i=1}^n X_i^2$ von $n$ unabhängigen, quadrierten Zufallsvariablen $X_i \sim N(0,1)$ ist $\chi^2_n$-verteilt\\ 
\hline

\textbf{Student-$t$-Verteilung} $t_n$ mit $n$ Freiheitsgraden (degrees of freedom $df=n$)  & \begin{align}\notag f_n(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}   \end{align} & analytisch sehr kompliziert! & Im Fall $n>s$ existieren die ersten $s$: \newline Erwartungswert $E[X]=0$ \newline
Varianz $Var(X)=\frac{n}{n-2}$ \newline Schiefe $v(X)=0$& Für zwei unabhängige Zufallsvariablen $X \sim N(0,1)$ und $Y\sim\chi^2_n$ ist $T:=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} $ gerade $t_n-$verteilt\\ 
\hline

\textbf{$F$-Verteilung} $F(m,n)$ mit $m$ Freiheitsgraden im Zähler und $n$ Freiheitsgraden im Nenner  & \begin{align} \notag f(x)=\begin{cases} \frac{m^{m/2}n^{n/2} \Gamma(m/2+n/2) x^{m/2-1}}{\Gamma(m/2)\Gamma(n/2) (mx+n)^{(m+n)/2}} \text{ für } x\geq 0 \\ 0 \text{ für } x <0  \end{cases}\end{align} & analytisch sehr kompliziert! & Im Fall $n>2s$ existieren die ersten $s$: \newline Erwartungswert $E[X]=\frac{n}{n-2}$ \newline $Var(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$ & Alternativ kann man für unabhängige Zufallsvariablen $X \sim \chi^2_m$ und $Y \sim \chi^2_n$ eine $F(m,n)$-verteilte ZV $Z$ auch definieren als: $Z=\frac{X/m}{Y/n}$\\ 
\hline

\textbf{Cauchyverteilung} mit Zentrum $t$ und Breitenparameter $s$; falls diese $0$ bzw. $1$, so ist das Standard-Cauchy-verteilt (bzw. $t$-verteilt mit $df=1$). & \begin{align}\notag f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{s}{s^2+(x-t)^2} \text{ für $s>0$ und $-\infty < t <\infty$} \end{align} & \begin{align}\notag F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan(\frac{x-t}{s})\end{align} & Kein Moment ist definiert, weil die Integrale nicht existieren & Der Quotient aus zwei standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.\\ 
\hline

\textbf{Gleichverteilung} auf Intervall $\left[a,b\right]$ bzw. auf der Menge $\lbrace a, ...,b\rbrace$ mit $a<b$ & \begin{align}\notag f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} \text{ für } a\leq x \leq b \\ 0 \text{ für sonst}  \end{cases}\end{align} & \begin{align}\notag F(x)=\frac{x-a}{b-a}  \text{ für } a\leq x\leq b\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\frac{a+b}{2}$ \newline Varianz $Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$\newline Schiefe $v(X)=0$ & Wichtig ist die Inversionsmethode, mit der man gleichverteilte Zufallsvariablen in andere Verteilungen überführt (s. Simulationslemma)\\ 
\hline

\textbf{Dreiecksverteilung} auf einem Intervall $\left[a,b\right]$ und einem "`wahrscheinlichsten"' Wert $c \in \left[a,b\right]$  & \begin{align} \notag f(x)=\begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} \text{ für } a\leq x \leq c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} \text{ für } c\leq x \leq b  \end{cases}\end{align} & \begin{align} \notag F(x)=\begin{cases} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} \text{ für } a\leq x \leq c \\1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} \text{ für } c\leq x \leq b  \end{cases}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\frac{a+b+c}{3}$ \newline $\sigma^2(X)=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}$ & \\ 
\hline

\textbf{Binomialverteilung} $B(n,p)$ mit Anzahl $n \in ]0,\infty[$, Treffer $k \in [0,n]$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ & \begin{align} \notag P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{align} & \begin{align}\notag F(X=k)=\sum_{l=0}^{k}{n \choose l}p^k(1-p)^{n-l}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=n \cdot p$ \newline
Varianz $Var(X)=n \cdot p\cdot (1-p)$ \newline Schiefe $v(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{Var(X)}}$ & Symmetrisch für $p=0,5$; \newline falls $n\cdot p \Ra \lambda$, ähnlich zur Poisson (brauchbar bei $n\geq 50$ und $p \leq 0,05$); \newline Ziehen mit Zurücklegen\\ 
\hline

\textbf{Hypergeometrische Verteilung} mit $N$ Elementen der Grundgesamtheit, davon $M \leq N$ mit einer gewissen Eigenschaft und einer Anzahl $n \leq N$ Elementen in der Stichprobe & \begin{align} \notag P(X =k)=\frac{{M \choose k}\cdot {N-M \choose n-k}}{{N \choose n}} \end{align} & \begin{align}\notag F(X=k)=\sum_{l=0}^{k}\frac{{M \choose l}\cdot {N-M \choose n-l}}{{N \choose n}}\end{align}& Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=n \cdot \frac{M}{N}$ \newline Varianz \newline $Var(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}$ & Ziehen ohne Zurücklegen \newline Ist $n/N <0,05$, so unterscheidet sie sich kaum von der Binomialverteilung (Rücklegeeffekt spielt keine Rolle mehr!)\\ 
\hline
\end{tabularx}
%\end{landscape}

%\begin{landscape}
\begin{tabularx}{26,5cm}{|X|X|X|X|X|}
\hline
Name & Dichte \small{bzw.} Wahrscheinlichkeitsfunktion & Wahrscheinlichkeitsverteilung & Momente & Anmerkungen\\ 
\hline \hline
\textbf{Poissonverteilung} mit Treffer $k \in [0,n]$ und Poissonparameter $\lambda \in ]0,\infty[$ & \begin{align} \notag f(x)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{align} & \begin{align}\notag F(x)=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{x}\frac{\lambda^k}{k!}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\lambda$ \newline Varianz $Var(X)=\lambda$ \newline Schiefe $v(X)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$& Für $\lambda >30$ starke Ähnlichkeit zur Normalverteilung \\ 
\hline

\textbf{Logistische Verteilung} mit Parameter $\alpha \in \R$ und $\beta \in \R^+$ & \begin{align}\notag f(x)=\frac{e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}{\beta \left(1+e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}\right)^2}\end{align} & \begin{align}\notag F(x)=\frac{1}{1+e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\alpha$ \newline
Varianz $Var(X)=\beta^2 \cdot \frac{\pi^2}{3}$ & Oftmals in der Schätzung von Zeitreihen in der nichtlinearen Regression; \newline Modellierung von Verweildauern von Systemen\\ 
\hline

\textbf{Logarithmische Normalverteilung} $LN(\mu, \sigma^2)$ mit den Parametern $\mu \in \R$ und $\sigma \in \R^+$ & \begin{align} \notag f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x}e^{-\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{ für } x>0 \\ 0 \text{ für } x\leq 0  \end{cases}\end{align} &  \begin{align} \notag F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_0^x \frac{1}{t}e^{-\frac{(\ln(t)-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}$ \newline
$Var(X)=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}(e^{\sigma^2}-1)$ \newline Schiefe $v=(e^{\sigma^2}+2)\sqrt{(e^{\sigma^2}-1)}$ & Der Logarithmus einer logarithmisch-normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt\\ 
\hline

\textbf{Exponentialverteilung} $Exp(\lambda)$ mit Parameter $\lambda \in \R$  & \begin{align} \notag f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} \text{ für } x\geq 0 \\ 0 \text{ für } x< 0  \end{cases}\end{align} & \begin{align}\notag F(x)=1-e^{-\lambda x} \text{ für } x\geq 0\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\frac{1}{\lambda}$ \newline
Varianz $Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}$ \newline
Schiefe $v(X)=2$& Die Summe $X^2+Y^2$ zweier unabhängiger, standardnormalverteilter, quadrierter Zufallsvariablen ist exponentialverteilt mit $\lambda=\frac{1}{2}$ (s. $\chi^2_2$-Verteilung)\\
\hline


\textbf{Laplaceverteilung} mit Lageparameter $\mu \in \R$ und Skalenparameter $\sigma\in \R^+$  & \begin{align}\notag f(x)=\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{\mid x - \mu\mid}{\sigma}}\end{align} & \begin{align} \notag F(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}e^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \text{ für } x\leq \mu \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}} \text{ für } x>\mu  \end{cases}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\mu$ \newline
Varianz $Var(X)=2\sigma^2$ & Falls $X_1, ..., X_4$ unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsgrößen sind, so ist die Determinante der zugehörigen Matrix $Z:=X_1X_4-X_2X_3$ standardlaplaceverteilt\\ 
\hline

\textbf{Gammaverteilung} $\gamma(p,b)$ mit Parameter $b,p \in \R^+$ ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung & \begin{align} \notag f(x)=\begin{cases} \frac{b^p}{\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} \text{ für } x\geq 0 \\ 0 \text{ für } x < 0  \end{cases}\end{align} & \begin{align} \notag F(x)=\begin{cases}\int_0^{bx} t^{p-1}e^{-t}\Gamma(p)^{-1}dt  \\ 0 \text{ für } x < 0  \end{cases}\end{align} & Alle Momente existieren: \newline Erwartungswert $E[X]=\frac{p}{b}$ \newline
Varianz $Var(X)=\frac{p}{b^2}$ \newline
Schiefe $v(X)=\frac{2}{\sqrt{p}}$&  \\ 
\hline

\textbf{Weibullverteilung} mit Parameter $\lambda \in \R^+$ und $k\in \R_0^+$  & \begin{align} \notag f(x)=\lambda\cdot k \cdot (\lambda \cdot k)^{k-1}e^{-( \lambda x)^k}\end{align} & \begin{align} \notag F(x)=1-e^{-(\lambda x)^k} \text{ für } x\geq 0\end{align} & Alle Momente existieren: \newline $E[X]=\frac{1}{\lambda} \Gamma(1+\frac{1}{k})$ \newline
$\sigma^2(X)=\frac{\left[\Gamma(1+\frac{2}{k})-\Gamma^2(1+\frac{1}{k})\right]}{\lambda^2}$ \newline
$v(X)=\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})/\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$& Sehr wichtig in Fall von Lebensdaueranalysen, wobei $T=\frac{1}{\lambda}$ die Lebensdauer misst. \\ 
\hline
\end{tabularx}

Anmerkungen:
\begin{itemize}
\item Die Gammafunktion ist definiert als $\Gamma(x):=\int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$ und hat folgende (für Ökonometriker) wichtige Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Für alle $x\in \R^+$ gilt: $\Gamma(x+1)=x\cdot\Gamma(x)$, insbesondere für $n \in  \N: \Gamma(n)=(n-1)!$. 
\item $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$
\end{enumerate}
\item In \texttt{R} lassen sich die meisten Dichten und Verteilungen mittels \texttt{?distribution} finden.
\end{itemize}
%\end{landscape}
\end{document}